Contoh soal dan jawaban bab 3 matematika kelas 10

Matematika Kelas 10: Memahami Fungsi dan Grafiknya – Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Pendahuluan

Selamat datang para siswa Kelas 10! Bab 3 Matematika adalah salah satu bab fundamental yang akan menjadi pondasi kuat bagi pemahaman Anda di jenjang yang lebih tinggi: Fungsi. Konsep fungsi adalah jembatan antara aljabar dan geometri, memungkinkan kita untuk memodelkan hubungan antarvariabel dalam berbagai fenomena kehidupan nyata, mulai dari pergerakan benda, pertumbuhan populasi, hingga analisis ekonomi.

Memahami fungsi bukan hanya tentang menghafal rumus, tetapi juga tentang memahami cara kerja suatu "mesin" matematika yang menerima input, memprosesnya, dan menghasilkan output. Artikel ini akan memandu Anda melalui konsep-konsep dasar fungsi, jenis-jenis fungsi yang umum, operasi pada fungsi, hingga cara menggambar grafiknya. Yang terpenting, kami akan menyajikan serangkaian contoh soal lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah untuk memastikan Anda benar-benar menguasai materi ini. Mari kita mulai perjalanan ini!

I. Konsep Dasar Fungsi

Sebelum melangkah ke contoh soal, mari kita segarkan kembali pemahaman tentang konsep dasar fungsi.

1. Definisi Fungsi
Fungsi adalah suatu relasi khusus yang memetakan setiap anggota dari satu himpunan (disebut domain atau daerah asal) ke tepat satu anggota dari himpunan lain (disebut kodomain atau daerah kawan). Hasil pemetaan dari domain ke kodomain disebut range atau daerah hasil.

• Domain (Daerah Asal): Himpunan semua nilai input yang diizinkan untuk suatu fungsi.
• Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan semua nilai output yang mungkin.
• Range (Daerah Hasil): Himpunan semua nilai output yang sebenarnya dihasilkan oleh fungsi dari domainnya. Range adalah subset dari kodomain.

2. Notasi Fungsi
Fungsi biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti f, g, h. Jika f adalah suatu fungsi yang memetakan x ke y, kita menulis y = f(x). Ini dibaca "y adalah fungsi dari x" atau "y sama dengan f dari x". Di sini, x adalah variabel bebas (input) dan y adalah variabel terikat (output).

Contoh Sederhana:
Jika f(x) = 2x + 1:

• Untuk x = 3, f(3) = 2(3) + 1 = 7. Artinya, ketika inputnya 3, outputnya adalah 7.
• Pasangan terurutnya adalah (3, 7).

II. Jenis-Jenis Fungsi Umum

Di kelas 10, Anda akan banyak bertemu dengan beberapa jenis fungsi dasar:

1. Fungsi Linear: Fungsi yang grafiknya berupa garis lurus. Bentuk umum: f(x) = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah titik potong sumbu-y.
2. Fungsi Kuadrat: Fungsi yang grafiknya berupa parabola. Bentuk umum: f(x) = ax^2 + bx + c, di mana a ≠ 0.
3. Fungsi Nilai Mutlak: Fungsi yang melibatkan operasi nilai mutlak. Bentuk umum: f(x) = |ax + b| atau f(x) = |ax^2 + bx + c|. Grafik fungsi nilai mutlak selalu berada di atas atau pada sumbu-x (nilai y selalu non-negatif).
4. Fungsi Pecah (Rasional): Fungsi yang berbentuk pecahan aljabar, di mana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Bentuk umum: f(x) = P(x) / Q(x), di mana Q(x) ≠ 0. (Kadang hanya diperkenalkan di kelas yang lebih tinggi, tetapi penting untuk mengetahui domainnya: penyebut tidak boleh nol).
5. Fungsi Tangga (Piecewise/Bertingkat): Fungsi yang didefinisikan oleh beberapa ekspresi yang berbeda untuk interval domain yang berbeda.

III. Operasi Aljabar pada Fungsi

Sama seperti bilangan, fungsi juga bisa dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi. Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi:

• Penjumlahan: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• Pengurangan: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
• Perkalian: (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
• Pembagian: (f / g)(x) = f(x) / g(x), dengan syarat g(x) ≠ 0.

IV. Grafik Fungsi

Menggambar grafik adalah cara visual untuk memahami perilaku suatu fungsi. Setiap titik (x, y) pada grafik mewakili pasangan input-output (x, f(x)) yang memenuhi fungsi tersebut.

• Fungsi Linear: Cukup tentukan dua titik (misalnya titik potong sumbu-x dan sumbu-y) lalu hubungkan dengan garis lurus.
• Fungsi Kuadrat: Perlu menentukan beberapa karakteristik:
  • Arah parabola (terbuka ke atas jika a > 0, ke bawah jika a < 0).
  • Titik potong sumbu-x (saat y = 0, selesaikan ax^2 + bx + c = 0).
  • Titik potong sumbu-y (saat x = 0, yaitu (0, c)).
  • Titik Puncak/Balik: (-b/2a, f(-b/2a)). Sumbu simetri adalah garis vertikal x = -b/2a.
• Fungsi Nilai Mutlak: Ubah menjadi fungsi bertingkat, lalu gambar setiap bagiannya. Grafik akan berbentuk "V" atau "U" (jika kuadrat).

V. Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Mari kita terapkan konsep-konsep di atas melalui serangkaian contoh soal yang bervariasi.

Soal 1: Identifikasi Domain, Kodomain, dan Range

Diberikan himpunan pasangan berurutan dari suatu relasi R = (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8).
a. Apakah R merupakan fungsi? Jelaskan!
b. Tentukan domain, kodomain (asumsikan himpunan bilangan asli), dan range dari R jika R adalah fungsi.

Pembahasan:

a. Untuk menentukan apakah R adalah fungsi, kita perlu memeriksa apakah setiap anggota domain dipetakan ke tepat satu anggota kodomain.

• Anggota domain adalah angka pertama dalam setiap pasangan: 1, 2, 3, 4.
• 1 dipetakan ke 2.
• 2 dipetakan ke 4.
• 3 dipetakan ke 6.
• 4 dipetakan ke 8.
  Setiap anggota domain (1, 2, 3, 4) hanya memiliki satu pasangan di kodomain.
  Kesimpulan: Ya, R merupakan fungsi.

b. Jika R adalah fungsi:

• Domain (Daerah Asal): Himpunan semua elemen pertama dari pasangan berurutan. D_f = 1, 2, 3, 4.
• Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan bilangan asli (sesuai asumsi soal). K_f = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....
• Range (Daerah Hasil): Himpunan semua elemen kedua dari pasangan berurutan yang merupakan hasil pemetaan. R_f = 2, 4, 6, 8.

Soal 2: Menentukan Nilai Fungsi

Diketahui fungsi f(x) = 3x^2 - 5x + 2. Tentukan nilai dari:
a. f(0)
b. f(-1)
c. f(a+1)

Pembahasan:

a. Untuk f(0), substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:
f(0) = 3(0)^2 - 5(0) + 2
f(0) = 0 - 0 + 2
f(0) = 2

b. Untuk f(-1), substitusikan x = -1 ke dalam fungsi:
f(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) + 2
f(-1) = 3(1) - (-5) + 2
f(-1) = 3 + 5 + 2
f(-1) = 10

c. Untuk f(a+1), substitusikan x = (a+1) ke dalam fungsi:
f(a+1) = 3(a+1)^2 - 5(a+1) + 2
f(a+1) = 3(a^2 + 2a + 1) - (5a + 5) + 2 (Ingat (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)
f(a+1) = 3a^2 + 6a + 3 - 5a - 5 + 2
f(a+1) = 3a^2 + (6a - 5a) + (3 - 5 + 2)
f(a+1) = 3a^2 + a + 0
f(a+1) = 3a^2 + a

Soal 3: Menentukan Nilai Variabel x dari Fungsi

Diketahui fungsi g(x) = 2x - 7. Jika g(x) = 11, tentukan nilai x.

Pembahasan:

Kita tahu g(x) = 2x - 7 dan g(x) = 11. Kita bisa menyamakan kedua ekspresi tersebut:
2x - 7 = 11
Tambahkan 7 ke kedua sisi persamaan:
2x = 11 + 7
2x = 18
Bagi kedua sisi dengan 2:
x = 18 / 2
x = 9
Jadi, nilai x adalah 9.

Soal 4: Operasi Aljabar pada Fungsi

Diketahui fungsi f(x) = x + 3 dan g(x) = x^2 - 9. Tentukan:
a. (f + g)(x)
b. (f - g)(x)
c. (f ⋅ g)(x)
d. (f / g)(x)

Pembahasan:

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= (x + 3) + (x^2 - 9)
= x^2 + x + (3 - 9)
= x^2 + x - 6

b. (f - g)(x) = f(x) - g(x)
= (x + 3) - (x^2 - 9)
= x + 3 - x^2 + 9 (Perhatikan tanda minus yang didistribusikan)
= -x^2 + x + (3 + 9)
= -x^2 + x + 12

c. (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
= (x + 3)(x^2 - 9)
Kita bisa menggunakan distribusi atau mengenali (x^2 - 9) sebagai selisih dua kuadrat (x-3)(x+3):
= (x + 3)(x - 3)(x + 3)
= (x + 3)^2 (x - 3)
= (x^2 + 6x + 9)(x - 3)
Atau, jika langsung dikalikan:
= x(x^2 - 9) + 3(x^2 - 9)
= x^3 - 9x + 3x^2 - 27
= x^3 + 3x^2 - 9x - 27

d. (f / g)(x) = f(x) / g(x)
= (x + 3) / (x^2 - 9)
Faktorkan penyebut x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3):
= (x + 3) / ((x - 3)(x + 3))
Kita bisa menyederhanakan dengan mencoret (x + 3) di pembilang dan penyebut, dengan syarat x + 3 ≠ 0 (yaitu x ≠ -3).
= 1 / (x - 3)
Domain: Ingat bahwa penyebut tidak boleh nol. Jadi x^2 - 9 ≠ 0 atau (x-3)(x+3) ≠ 0. Maka x ≠ 3 dan x ≠ -3.

Soal 5: Menggambar Grafik Fungsi Linear

Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x - 4.

Pembahasan:

Untuk menggambar grafik fungsi linear, kita cukup mencari dua titik yang dilalui oleh garis. Cara termudah adalah mencari titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y.

1. Titik potong sumbu-y (saat x = 0):
   f(0) = 2(0) - 4
f(0) = -4
   Jadi, titik potong sumbu-y adalah (0, -4).

2. Titik potong sumbu-x (saat y = 0 atau f(x) = 0):
   0 = 2x - 4
4 = 2x
x = 4 / 2
x = 2
   Jadi, titik potong sumbu-x adalah (2, 0).

3. Gambarlah kedua titik tersebut pada koordinat Kartesius dan hubungkan dengan garis lurus.

   (Deskripsi visual untuk grafik):

   • Buatlah sistem koordinat dengan sumbu-x horizontal dan sumbu-y vertikal.
   • Tandai titik (0, -4) di sumbu-y (empat satuan di bawah titik asal).
   • Tandai titik (2, 0) di sumbu-x (dua satuan di kanan titik asal).
   • Gambarkan garis lurus yang melewati kedua titik tersebut. Garis ini akan naik dari kiri ke kanan (sesuai gradien positif 2).

Soal 6: Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Gambarlah grafik fungsi f(x) = x^2 - 4x + 3.

Pembahasan:

Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat (parabola), kita perlu menentukan beberapa karakteristik penting:

1. Arah Parabola:
   Koefisien a dari x^2 adalah 1 (positif). Karena a > 0, parabola akan terbuka ke atas.

2. Titik Potong Sumbu-y (saat x = 0):
   f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3
f(0) = 3
   Titik potong sumbu-y adalah (0, 3).

3. Titik Potong Sumbu-x (saat y = 0 atau f(x) = 0):
   x^2 - 4x + 3 = 0
   Faktorkan persamaan kuadrat:
   (x - 1)(x - 3) = 0
x - 1 = 0 atau x - 3 = 0
x = 1 atau x = 3
   Titik potong sumbu-x adalah (1, 0) dan (3, 0).

4. Titik Puncak (Titik Balik):
   Koordinat x dari titik puncak: x_p = -b / 2a
   Dari f(x) = x^2 - 4x + 3, kita punya a = 1, b = -4, c = 3.
   x_p = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2

   Koordinat y dari titik puncak: y_p = f(x_p) = f(2)
y_p = (2)^2 - 4(2) + 3
y_p = 4 - 8 + 3
y_p = -1
   Titik puncaknya adalah (2, -1).

5. Sumbu Simetri: Garis vertikal yang melalui titik puncak, yaitu x = 2.

6. Gambarlah Titik-titik dan Parabola:
   (Deskripsi visual untuk grafik):

   • Buatlah sistem koordinat.
   • Tandai titik potong sumbu-y: (0, 3).
   • Tandai titik potong sumbu-x: (1, 0) dan (3, 0).
   • Tandai titik puncak: (2, -1).
   • Gambarkan parabola yang terbuka ke atas, melewati semua titik tersebut, dan simetris terhadap garis x = 2.

Soal 7: Menggambar Grafik Fungsi Nilai Mutlak

Gambarlah grafik fungsi f(x) = |x - 2|.

Pembahasan:

Fungsi nilai mutlak |x - 2| dapat didefinisikan sebagai fungsi bertingkat:

f(x) = { x - 2, jika x - 2 ≥ 0 => x ≥ 2
{ -(x - 2), jika x - 2 < 0 => x < 2
f(x) = { x - 2, jika x ≥ 2
{ -x + 2, jika x < 2

Titik kritisnya adalah saat x - 2 = 0, yaitu x = 2. Di titik ini, grafik akan "berbelok".

1. Untuk x ≥ 2 (Garis y = x - 2):

   • Jika x = 2, y = 2 - 2 = 0. Titik (2, 0).
   • Jika x = 3, y = 3 - 2 = 1. Titik (3, 1).
   • Jika x = 4, y = 4 - 2 = 2. Titik (4, 2).
     Gambarkan garis lurus dari (2, 0) ke kanan atas.

2. Untuk x < 2 (Garis y = -x + 2):

   • Jika x = 2, y = -2 + 2 = 0. Titik (2, 0) (titik yang sama).
   • Jika x = 1, y = -1 + 2 = 1. Titik (1, 1).
   • Jika x = 0, y = -0 + 2 = 2. Titik (0, 2).
   • Jika x = -1, y = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3. Titik (-1, 3).
     Gambarkan garis lurus dari (2, 0) ke kiri atas.

3. Gambarlah grafik:
   (Deskripsi visual untuk grafik):

   • Buatlah sistem koordinat.
   • Tandai titik (2, 0) sebagai titik belok (puncak "V").
   • Dari (2, 0), tarik garis lurus ke kanan atas melalui (3, 1), (4, 2) dst.
   • Dari (2, 0), tarik garis lurus ke kiri atas melalui (1, 1), (0, 2), (-1, 3) dst.
   • Grafik akan berbentuk huruf "V" yang puncaknya berada di (2, 0) dan terbuka ke atas.

Soal 8: Aplikasi Fungsi dalam Masalah Kontekstual

Sebuah perusahaan taksi menerapkan tarif awal Rp 10.000 dan tarif tambahan Rp 3.000 per kilometer.
a. Tuliskan fungsi yang menyatakan biaya total perjalanan (C) sebagai fungsi dari jarak yang ditempuh (d) dalam kilometer.
b. Berapa biaya yang harus dibayar jika seseorang menempuh jarak 15 kilometer?
c. Jika seseorang membayar Rp 55.000, berapa jarak yang ditempuhnya?

Pembahasan:

a. Menuliskan fungsi:

• Tarif awal (konstanta) = Rp 10.000
• Tarif per kilometer = Rp 3.000
• Jarak tempuh = d kilometer
• Biaya total = C(d)

Fungsinya adalah: C(d) = 10.000 + 3.000d

b. Menghitung biaya untuk 15 km:
Substitusikan d = 15 ke dalam fungsi C(d):
C(15) = 10.000 + 3.000(15)
C(15) = 10.000 + 45.000
C(15) = 55.000
Jadi, biaya yang harus dibayar adalah Rp 55.000.

c. Menentukan jarak jika biaya diketahui:
Kita tahu C(d) = 55.000. Substitusikan ini ke dalam fungsi dan selesaikan untuk d:
55.000 = 10.000 + 3.000d
Kurangkan 10.000 dari kedua sisi:
55.000 - 10.000 = 3.000d
45.000 = 3.000d
Bagi kedua sisi dengan 3.000:
d = 45.000 / 3.000
d = 15
Jadi, jarak yang ditempuh adalah 15 kilometer.

VI. Tips Belajar Fungsi

1. Pahami Konsep, Bukan Hanya Rumus: Mengapa fungsi itu penting? Apa bedanya domain dan range? Mengapa setiap input harus punya satu output? Memahami "mengapa" akan membuat Anda lebih mudah mengingat "bagaimana".
2. Latihan Berulang: Matematika adalah keterampilan. Semakin sering Anda berlatih soal, semakin mahir Anda. Mulai dari soal-soal dasar, lalu tingkatkan ke kompleksitas yang lebih tinggi.
3. Visualisasikan dengan Grafik: Jika memungkinkan, cobalah untuk menggambar grafik setiap fungsi yang Anda kerjakan. Ini akan membantu Anda melihat hubungan antara persamaan aljabar dan bentuk visualnya.
4. Manfaatkan Sumber Daya: Jangan ragu menggunakan buku paket, catatan guru, video tutorial online, atau bahkan aplikasi grafik seperti GeoGebra atau Desmos untuk membantu visualisasi dan pengecekan jawaban.
5. Jangan Takut Bertanya: Jika ada konsep atau langkah penyelesaian yang tidak Anda pahami, segera tanyakan kepada guru atau teman. Diskusi seringkali membuka pemahaman baru.

Kesimpulan

Fungsi adalah salah satu konsep terpenting dalam matematika, yang akan terus Anda temui di berbagai disiplin ilmu. Dengan memahami definisi dasar, notasi, jenis-jenis fungsi, operasi aljabar, dan bagaimana cara menggambar grafiknya, Anda telah membangun fondasi yang kuat. Melalui contoh-contoh soal yang telah dibahas, diharapkan Anda mendapatkan gambaran yang jelas tentang bagaimana menerapkan teori ke dalam praktik.

Ingat, kunci keberhasilan dalam matematika adalah konsistensi dalam belajar dan berlatih. Teruslah mengeksplorasi, bertanya, dan jangan pernah berhenti mencoba. Semoga artikel ini bermanfaat dalam perjalanan belajar matematika Anda!